Soutenance de thèse de Enguerrand LAVIGNE BON

Cette thèse est consacrée à l'analyse asymptotique du bas du spectre d'opérateurs en présence d'un champ magnétique fort en dimension deux. Dans un premier mouvement, on complète les travaux initiés par Ekholm, Kovařík et Portmann au sujet de l'asymptotique du spectre de l'opérateur de Dirichlet-Pauli sur un domaine annulaire. On décrit l'influence de l'effet Aharonov-Bohm mis en lumière par B. Helffer et M.P. Sundqvist. Dans l'esprit des travaux de J.-M. Barbaroux, L. Le Treust, N. Raymond et E. Stockmeyer, on s'attache ensuite à étendre ce résultat à l'opérateur de Dirac magnétique avec des conditions de masse infinie au bord d'un anneau. En adaptant une nouvelle caractérisation du spectre par une formule de min-max non linéaire, nous donnons le premier terme de l'asymptotique du bas du spectre positif. Enfin, on considère le Laplacien de Dirichlet avec un champ magnétique uniforme sur un guide d'ondes en dimension deux. Une condition suffisante est donnée sur la courbure et l'épaisseur du guide d'ondes pour assurer l'existence de valeurs propres dans la limite semi-classique. Ce résultat répond négativement à une conjecture formulée par P. Duclos et P. Exner.

This thesis is devoted to the asymptotical analysis of the bottom of the spectrum of operators in the presence of a strong magnetic field in dimension two. In a first move, we complete the work initiated by Ekholm, Kovařík and Portmann on the asymptotics of the spectrum of the Dirichlet-Pauli operator on an annular domain. The influence of the Aharonov-Bohm effect highlighted by B. Helffer and M.P. Sundqvist is described. In the spirit of the work of J.-M. Barbaroux, L. Le Treust, N. Raymond and E. Stockmeyer, we then extend this result to the magnetic Dirac operator on an annulus with infinite mass boundary conditions. We adapt a new characterization of the spectrum based on a non-linear min-max formula to give an explicit asymptotic expansion at the first order of the lowest positive eigenvalues. Finally, we consider the Dirichlet Laplacian with uniform magnetic field on a curved strip in two dimensions. We give a sufficient condition on the width and the curvature of the strip ensuring the existence of the discrete spectrum in the strong magnetic field limit. This result gives a negative answer to a conjecture formulated by P. Duclos and P. Exner.